L'idea centrale del calcolo differenziale è l'approssimazione lineare.
Questo concetto ricorre frequentemente nello studio del calcolo differenziale negli spazi euclidei;
ad esempio, una funzione di una variabile può essere approssimata dalla sua retta tangente, una curva parametrica in
Per poter rendere sensato il calcolo differenziale sulle varietà, dobbiamo quindi introdurre la nozione di spazio tangente a una varietà in un punto, che possiamo pensare come una sorta di "modello lineare" per la varietà vicino al punto.
Iniziamo studiando oggetti molto più concreti: vettori tangenti geometrici in
Immaginiamo una varietà nello spazio euclideo, ad esempio la sfera unitaria
cosa intendiamo per "vettore tangente" in un punto di
Per poter rispondere a questa domanda, dobbiamo prima stabilire come interpretare gli elementi di
Da un lato, solitamente li consideriamo come punti nello spazio, la cui unica proprietà è la posizione, espressa dalle coordinate
D'altra parte, quando facciamo analisi, talvolta li consideriamo invece come vettori, oggetti con modulo, direzione e verso, ma la cui posizione è irrilevante.
Un vettore
ciò che conta dal punto di vista del vettore è solo dove punta e quanto è lungo.
Con questa seconda interpretazione in mente, abbiamo quindi essenzialmente una copia separata di
Quando parliamo di vettori tangenti alla sfera in un punto
Ecco una definizione preliminare di vettori tangenti nello spazio euclideo.
Dato un punto
I suoi elementi sono detti vettori tangenti geometrici a
Per comodità di notazione, abbreviamo
L'idea è di pensare a
L'insieme
I vettori
In effetti, come spazio vettoriale,
l'unico motivo per cui aggiungiamo il pedice
Con questa definizione potremmo pensare allo spazio tangente a
Il problema con questa definizione, tuttavia, è che non ci dà alcun suggerimento su come potremmo definire vettori tangenti su una varietà liscia in generale, dove non c'è un ambiente euclideo.
Dobbiamo perciò cercare un'altra caratterizzazione dei vettori tangenti, incline a essere generalizzata alle varietà.
Notiamo intanto che i vettori tangenti geometrici forniscono un modo per calcolare derivate direzionali di funzioni reali.
Infatti, qualsiasi vettore tangente geometrico
Questa operazione è lineare su
Scrivendo
dove
L'associazione
Per rendere questa affermazione precisa, ora studieremo in maggior dettaglio la derivata direzionale
Finché due funzioni coincidono in qualche intorno di un punto
ciò suggerisce di introdurre una relazione di equivalenza sulle funzioni
In
definiamo allora la relazione
Questa è chiaramente una relazione di equivalenza.
La classe di equivalenza di
Denotiamo con
L'idea dietro la nozione di germe è quella di identificare oggetti (in questo caso funzioni) che condividono una certa proprietà (in questo caso la legge) a livello locale.
Qualora non ci sia rischio di ambiguità, tenderemo a denotare il germe di una funzione
basta ricordare che l'uguaglianza è riferita a un intorno di
È abbastanza immediato vedere che le operazioni definite su
ciò significa che queste operazioni inducono in modo naturale operazioni corrispondenti su
In ultima battuta, facciamo la seguente importante
Possiamo modificare l'azione della derivata direzionale
Questa modifica è lecita in quanto:
D'ora in poi, adotteremo quindi sempre
Ora che abbiamo identificato le funzioni che coincidono localmente intorno a un punto, tenendo a mente le proprietà delle derivate direzionali siamo portati a dare la seguente definizione.
Dato un punto
Chiaramente,
Il fatto cruciale su
La dimostrazione si baserà sul Lemma di Hadamard (Proposizione 3.1.5) e sul seguente lemma.
Siano
Si hanno i seguenti fatti:
Dimostrazione
È sufficiente dimostrare il primo punto per la funzione costante
data una generica funzione costante
Il fatto che valga
Il secondo punto segue anch'esso dall'identità di Leibniz:
A questo punto, siamo pronti per dimostrare che i vettori tangenti geometrici si identificano con le derivazioni.
Sia
Si hanno i seguenti fatti:
Dimostrazione
Il fatto che
dobbiamo quindi mostrare solo il secondo punto.
La linearità di
Per l'iniettività, prendiamo
Scriviamo
Dall'arbitrarietà di
Per dimostrare la suriettività, prendiamo
motivati dal calcolo precedente, definiamo il vettore
A tale scopo, prendiamo
Valutando la derivazione
inoltre,
Allora, abbiamo in definitiva
Questo teorema permette di identificare lo spazio
questa nuova interpretazione dei vettori tangenti come derivazioni è più adatta a essere generalizzata alle varietà.
Pertanto, d'ora in poi utilizzeremo
Sia
Le
Dimostrazione
Basta notare che l'isomorfismo
L'identificazione trovata nel Teorema 3.2.6 ci rende ora in grado di definire i vettori tangenti su qualsiasi varietà liscia.
Sia
Si dice derivazione in
L'insieme di tutte le derivazioni di
in virtù di questa definizione, le derivazioni di
Abbiamo l'analogo del Lemma 3.2.5 per le varietà.
Sia
siano
Si hanno i seguenti fatti:
Dimostrazione
Identica a quella del Lemma 3.2.5.